Метод параметрических функций

Если априорное и апостериорное распределения не являются само- воспроизводящимися, точное аналитическое выражение для байесов­ских оценок отсутствует или оказывается исключительно сложным, а реализация соответствующего вычислительного алгоритма — громоз­дкой процедурой. В связи с этим возникает задача построения таких алгоритмов объединения априорной и экспериментальной информа­ции, для которых основная расчетная часть осуществлялась бы зара­нее (до получения экспериментальных данных). Очевидно, указан­ные расчеты должны охватывать параметры, являющиеся носителями априорной информации относительно оцениваемого параметра. Схема вычисления таких параметров не всегда эквивалентна (в смысле вели­чины критерия качества) байесовским операторам и может рассмат­риваться с позиций аппроксимации последних.

Одно из направлений теории аппроксимации байесовских опера­торов заключается в использовании модели вида [79]

R = X0 +^^кс,

а также ее частных случаев (аддитивной и мультипликативной моделей):

R = X0+R3KC, R = XlR3KC,

где Лэкс — экспериментальная оценка; Хх — параметрические функции, зависящие от априорной информации и определяемые на основе использования тех или иных критериев оценок.

Рассмотрим процедуру построения параметрической аппрокси­мации байесовских оценок на конкретном примере оценки вероятно­
сти успешного выполнения задачи при использовании мультиплика­тивной модели.

В качестве экспериментальной оценки принимаем оценку мак­симального правдоподобия вероятности по частоте A>KC = m/л. Най­дем параметрическую функцию Х^ из условия минимума среднего риска:

Х(R-R)2P(R)P(m/n, R)dR,

О /я где функция правдоподобия представляет собой биномиальное рас-

/I!

пределение Р(т/п, R) =———- ;—— Rm(l-R)n~m с математическим вжи­

ття-/я)!

данием M[m]-nR идисперсией /)[/я] = яЛ(1-Л).

Производя вычисления среднего риска, получим:

P(m/n, R)P(R)dR =

/

P(R)P(mln, R)dR =

=^іл23-2х, л/[л2]+х?[л/(л2)-^^+^^ .

L n n.

Дифференцируя полученное выражение среднего риска по Xj и приравнивая полученную производную нулю, находим выражение для параметрической функции Л.|:

х =_____________ 1___________

1 l+[M(R)-M(R2)]/nM(R2Y

где M(R), M(Jp) — моменты априорного распределения.

Таким образом, для построения оценок методом параметричес­ких функций нет необходимости знать вид априорного распределе­ния, достаточно знать его моменты, которые могут быть найдены эмпирическим путем.

Сравним полученные оценки с байесовскими и оценками макси­мального правдоподобия.

Пусть априорное распределение равномерное в интервале [0, 1]. Тогда байесовская оценка будет иметь вид IL = (1+т)/(2+л). Сред­ний риск, соответствующий этой оценке, W = 1/(6л + 12). Средний риск для оценки максимального правдоподобия W = 1/(6я).

И, наконец, средний риск оценки, полученной методом пара­метрических функций, определится соотношением W = 1/(6я+3).

Таким образом, оценка занимает по точности промежуточное по­ложение между байесовской оценкой и оценкой максимального прав­доподобия.